Axioma

Na Lógica tradicional, um axioma ou postulado é uma sentença ou proposição que não é provada ou demonstrada e é considerada como óbvia ou como um consenso inicial necessário para a construção ou aceitação de uma teoria. Por essa razão, é aceito como verdade e serve como ponto inicial para dedução e inferências de outras verdades (dependentes de teoria).

Na Matemática, um axioma é uma hipótese inicial do qual outros enunciados são logicamente derivados. Pode ser uma sentença, uma proposição, um enunciado ou uma regra que permite a construção de um sistema formal. Diferentemente de teoremas, axiomas não podem ser derivados por princípios de dedução e nem são demonstráveis por derivações formais, simplesmente porque eles são hipóteses iniciais. Isto é, não há mais nada a partir do que eles seguem logicamente (em caso contrário eles seriam chamados teoremas). Em muitos contextos, "axioma", "postulado" e "hipótese" são usados como sinônimos.

Axiomas e Postulados de Euclides

A geometria euclidiana, por vezes também chamada parabólica.

Sabe-se muito pouco sobre Euclides. Sabe-se que nasceu depois dos discípulos diretos de Platão, mas antes de Eratóstenes e Arquimedes e que viveu em Alexandria quando Ptolomeu governava o Egito, ou seja, entre 306 e 283 antes de Cristo.

A obra de Euclides começa com definições de termos geométricos (embora nem todas sejam atualmente consideradas satisfatórias), definições essas que não eram mais do que descrições que se pretendiam compreensíveis, para que se percebesse do que é que se estava a falar.

Depois das definições, Euclides aponta 5 postulados ou suposições fundamentais sobre objetos geométricos. Esses postulados são:

1. É possível traçar uma e uma só linha reta de qualquer ponto a qualquer outro ponto.

2. É possível prolongar continuamente um segmento, a partir de qualquer das suas extremidades numa linha reta [tanto quanto se queira].

3. É possível traçar uma circunferência com qualquer centro e raio.

4. Todos os ângulos retos são iguais.

5. Se uma linha reta cai sobre outras duas de modo que os dois ângulos internos de um mesmo lado sejam no seu conjunto [isto é, na sua soma] menores que dois ângulos retos, então as duas linhas retas, se prolongadas indefinidamente, encontram-se num ponto do mesmo lado em que os dois ângulos são inferiores a dois retos.

Euclides apresenta em seguida 5 noções comuns (aquilo a que hoje chamamos axiomas) consideradas evidentes, verdadeiras (não apenas na geometria), e necessárias para as demonstrações:

1. Coisas iguais à mesma coisa são iguais entre si.

2. Se a quantidades iguais se adicionam quantidades iguais, obtêm-se quantidades iguais.

3. Se a quantidades iguais se subtraem quantidades iguais, obtêm-se quantidades iguais.

4. Coisas que coincidem são iguais.

5. O todo é maior que a parte.

Uma das razões pelas quais esta obra é tão grandiosa é o fato de tanto ter sido deduzido de tão pouco. Na verdade, demonstrar 465 proposições, partindo de apenas 5 postulados, 5 noções comuns e algumas definições é um grande feito. Contudo, muitos matemáticos posteriores acreditaram que o mesmo podia ser obtido com apenas os primeiros 4 postulados e, que o quinto postulado não era mais do que uma proposição demonstrável a partir dos primeiros 4 postulados. Ou seja, para estes matemáticos não fazia sentido verificarem-se os 4 primeiros postulados e não se verificar o quinto, pois este seria consequência lógica dos outros 4. Daí a idéia de tentar demonstrar o quinto postulado. Aliás, o próprio Euclides também terá visto algo de especial no quinto postulado, razão pela qual não o utiliza na demonstração das primeiras 28 proposições (e só a partir da 32ª todas o utilizam). É quase como se Euclides evitasse a sua utilização tanto quanto possível.

Muitas foram as tentativas de demonstrar o quinto postulado ao longo da história, mas ninguém o conseguiu fazer corretamente, até porque, como mais tarde se viria a provar, essa demonstração é impossível! Dos matemáticos que se embrenharam nesta tarefa impossível, foram vários os que chegaram a acreditar (erradamente) que o tinham conseguido. Em muitos desses casos, o erro estava na utilização (ainda que implícita) de outro postulado equivalente ao quinto postulado dos Elementos de Euclides, como viria a ser descoberto pelos próprios ou por algum matemático posterior.